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    | Titelseite     | Autor     | artmetic

    DORNTORUS 2      DORNTORUS (1)

        Vorspiel
        Torusknoten
        Worum geht’s ? Was wird hier gespielt ?
        Spiel„raum“, Spiel„feld“, „falsches“ Spiel
        Vorgabe
        Das Spiel :  Spielregeln
        Zubehör
        Taktik
        Wortspiele, Mitspieler und Spielverderber
        Spielverlauf
        Das Prinzip :  Geometrie und Dynamik
        Zahlen und Größen
        Blinder Spiegel und Gottesblume
        Axiome und Eigenschaften

      Metrik und Raum

        Modell und Bild
        BeDeutung :  Ohne Bedeutung
        Zwischen zwei Welten
        Tausend tiefe Rätsel
        Rätsels Lösung?

     
    Zwei Größen zum Charakterisieren des dynamischen Dorntorus stehen nun also zur Verfügung: MASS und GRÖSSE. Sie sind völlig symmetrisch und gleichberechtigt definiert und entsprechend den beiden Teilmengen DL und DM lassen sie den Dorntorus in zwei Anteile zerfallen: L < M und M < L. Ein trennendes Element, aber gleichzeitig auch ein verbindendes, da in beiden Teilmengen vorkommend, ist das für L = M, nämlich (1, 1). Lasse ich L = 0 und M = 0 zu, kommt als ebensolches noch (0, 0) hinzu. Abrollen und Rotieren geschieht mit der Schrittweite c respektive h. Beide sind dynamische Vorgänge - keiner hält jemals an! - und beide stehen in fester Beziehung zueinander. Rotiert der Torus, rollt er auch ab - und umgekehrt. Rotiert er um die kleinste Einheit h des MASSES M, rollt er seine kleinste Einheit c der GRÖSSE L ab - und umgekehrt. Nach m Rotationen um h hat er m mal die GRÖSSE c abgerollt, nach l-maligem Abrollen von c - wiederum Identität - l mal um sein MASS h rotiert.  h und c sind - ohne Einschränkung der Allgemeinheit - Konstanten und nach den bisherigen Betrachtungen - da sie kleinste Einheiten, aber auch natürliche Zahlen sind - jeweils gleich Eins. Dieses völlig simple Verhalten ist die Quintessenz der Axiome und - trotz, oder spielregelgemäß gerade wegen dieser geradezu peinlichen Einfachheit - das eigentliche Prinzip. Ich will es hier explizit und endgültig formulieren:

    „ Das Prinzip “

    Der dynamische Dorntorus rotiert pro
    abgerollte konstante GRÖSSE c um sein MASS h.
     

    „Und diese armselige Banalität soll die unbeschreiblich reiche Welt der Zahlen widerspiegeln? Soll helfen, den fest geknüpften Euklidischen Knoten zu entwirren? Soll Schlüssel sein für ungelöste Rätsel der Natur, soll Unstimmigkeiten und Widersprüche aus deren Bild entfernen, nicht erkennbare Zusammenhänge in den Beschreibungen herstellen, erkenntnistheoretische Lücken schließen, unbefriedigende Interpretationen ersetzen können? Das kann nicht sein!“. . . .  Ich verspreche nichts. Nur mein Spiel will ich gerne weiterspielen: Es geht um Metrik. Metrik ist die tiefere Aussage „des Prinzips“, deshalb auch die Formulierung unter dieser Überschrift. So wie Zahlen - dynamisch betrachtet - sich gegenseitig zählen können, Einheit Eins benutzend, so mißt der dynamische Dorntorus sich selbst - seine GRÖSSE und sein MASS - mit Hilfe seiner GRÖSSE c und seines MASSES h.

    Formuliert ist „das Prinzip“ mit Bedacht etwas asymmetrisch. Ich hätte ja z.B. auch die Umkehrung noch hinzufügen können: „ ... und rollt pro Rotation um sein MASS h die konstante GRÖSSE c ab“. Aber selbst dies wäre noch genauso asymmetrisch: ’sein’ steht nur bei MASS und ’konstant’ nur bei GRÖSSE. Die Begründung für diese Akzentuierung folgt aus einer später zur Sprache kommenden „BeDeutung“. Hier, vorerst, gebe ich lediglich den Hinweis, daß eine gewisse Asymmetrie der beiden Größen MASS und GRÖSSE doch besteht, entwickle das weitere Bild allerdings bereits unter diesem Aspekt und beziehe den Begriff „Metrik“ nur auf GRÖSSE. Außerdem will ich mich auf den „äußeren“, „großen“ oder „Makro“-Dorntorus DL beschränken. Letztere Bezeichnungen für diesen Anteil des Dorntorus, dessen GRÖSSEN L definitionsgemäß ja kleiner sind als M, scheint zunächst ein Widerspruch. Er löst sich jedoch schnell auf, wenn man sich in Erinnerung ruft, daß der Torus, je größer er ist, mehr Rotationen um h für die GRÖSSEN-Änderung um die Einheit 1 benötigt und damit auch mehr „Abrollstrecken“ der GRÖSSE c. Zur Wiederholung: Um von GRÖSSE L = l auf L = l + 1 überzugehen, muß er l + 1 mal um h rotieren und entsprechend die Abrollstrecke (l+1)·c „zurücklegen“. Genau wie bei den Zahlen, die zum Weiterzählen von l auf l'  ½l'(l'+1)-½l(l+1) Rechenschritte benötigen, bei Änderung um 1 also ½(l+1)(l+2)-½l(l+1) = l+1. Und die Gesamtzahl m der Rotationen bis zum Erreichen der GRÖSSE L = l war ja ½l(l+1), also stets l < m und damit auch L < M. (Je öfter man den Mechanismus durchspielt, desto klarer wird das Bild. Zum Spiel gehört das Training! Und mein beharrlicher Versuch, das Modell - die Geometrie -, wo immer möglich, in Umgangssprache zu beschreiben, soll die Gefahr vermeiden, vom angestrebten und langsam sich entwickelnden Bild zu früh - und dann in nichtssagenden, bedeutungslosen oder illusionären Formalismus - abzugleiten.)

    Im Punkt S hat der Dorntorus immer eine bestimmte GRÖSSE L = l. Ändert er seine GRÖSSE, ist S zwar immer noch „an gleicher Stelle“ - im Mittelpunkt oder Symmetriepunkt -, aber dieser Punkt S ist ein anderer! Durch die GRÖSSEN-Änderung des Dorntorus durchläuft sein Mittelpunkt eine ganze Folge von Punkten S - ohne sich je „von der Stelle zu bewegen“. Um zu bezeichnen, welche GRÖSSE der Punkt S gerade repräsentiert, wird diese Angabe als sein Merkmal benötigt. Nun kann ich mir auch zwei, mehrere oder sehr - gar unendlich - viele verschiedene Dorntori vorstellen, die jeweils ihre Punkte S gemeinsam haben. Sie sind gewissermaßen „ineinander geschachtelt“. Der gemeinsame Punkt S stellt dann eine ganze Kombination von - zu den verschiedenen Dorntori gehörenden - Punkten S dar. Diese Kombination ist eine Aufzählung aller vorkommenden, hier vertretenen GRÖSSEN der Dorntori. Dies ist genau Inhalt der Spielregel 7, wenn ich dort „Entität“ durch „Dorntorus“ ersetze!

      Bild „Punkt S? - Ja, er kennt die Welten“

    Damit ist also, ohne überhaupt den Begriff „Raum“ eingeführt zu haben, schon der „Raumpunkt“ definiert. Dieser einzelne Raumpunkt gibt schon Auskunft über die (GRÖSSEN-)Verteilung der gesamten Menge ineinandergeschachtelter Dorntori. Ein einziger Punkt repräsentiert das ganze System! Aber der Punkt ist nicht allein. Alle Dorntori sind dynamisch. Sie rollen sich ab und zwar alle „simultan“ und schrittweise um die konstante GRÖSSE c. (Die ebenfalls simultane und schrittweise Rotation lasse ich für den Moment noch außer Betracht.) Jeder Dorntorus ändert seine GRÖSSE Li = li um 1 genau dann, wenn li + 1 mal die GRÖSSE c abgerollt wurde. Bei bestimmter Abrollstrecke (ln · c) haben alle Dorntori mit Li £ ln + 1 ihre GRÖSSE bereits geändert, kleinere eventuell mehrfach, Dorntori mit GRÖSSE Li > ln + 1 ihre alte GRÖSSE noch beibehalten. Bei gegebener Ausgangs„konstellation“ (bei einem bestimmten Punkt S mit allen dort vertretenen GRÖSSEN von Dorntori) steht fest, wann (nach welcher Abrollstrecke) die GRÖSSEN der einzelnen Dorntori sich jeweils um 1 ändern. „Das Prinzip“ trifft also völlig deterministisch die Auswahl der nächsten, übernächsten und jeder folgenden Konstellation. Die Anordnung oder Aufeinanderfolge der Raumpunkte ist dadurch eindeutig festgelegt. Jede einzelne Änderung einer Dorntorus-GRÖSSE ergibt eine neue Konstellation, eine andere Kombination von GRÖSSEN, kurz: einen anderen Raumpunkt. Die Gesamtzahl der erfolgten Änderungen ist endlich - um so geringer, je kleiner die herausgegriffene GRÖSSE ln ist - eben gerade gleich der Anzahl durchlaufener Punkte S mit verschiedenen Konstellationen oder - schließlich - gleich der Gesamtzahl der Raumpunkte „innerhalb“ der Abrollstrecke (ln · c). Die Raumpunkte sind diskret „verteilt“, von Kontinuum keine Spur, ganz im Gegenteil: je mehr ich mich einem bestimmten Raumpunkt nähere (kleines ln), desto kleiner wird die „Dichte“ der Punkte: es gibt weniger Änderungen der li.

      Bild „am Ende des Raumes und der Felder“

    Hier unmittelbar die Definition des „Raumes“ anzuschließen böte sich an. Doch nach den vorausgegangenen Verrenkungen ziehe ich es vor, dieser ein paar allgemeinere Betrachtungen voranzustellen. Erst soll das Bild, das die Raumpunkte allein schon abgeben, schlüssig eingerastet sein. Das Ausgangsbild ist einfach, jeder Schritt ist einfach, dann doch auch das nun halbfertige Bild. Genauso einfach und grundlegend soll die Definition des Raumes sein, ohne daß ich dabei auf eine Reihe weiterer Axiome zurückgreifen muß oder gar auf Eigenschaften, die durch den so definierten Raum selbst erst entstehen. Eben dies ist der Fall beim linearen Raum der Anschauung. Seine Metrik entsteht ad hoc erst, wenn der Raum schon fertig etabliert ist. Seine Metrik ist nicht im Raum enthaltene gesetzmäßige Eigenschaft. Sie ist hinzugefügtes Maß, das wirksam wird, wenn ich den a priori leeren Raum mit Dingen fülle. Sein Vorteil ist zwar, daß diese Dinge beliebig ausgedachte Objekte sein können - die Metrik paßt sich an, selbst komplexen Objekten wie Superstrings - aber einfach ... ? Mein Kriterium für Einfachheit ist Zwangsläufigkeit. Eigenschaften müssen aus wenigen aufgestellten Axiomen zwingend folgen. Metrik ist eine Eigenschaft des Raums. Ich verlange vom Raum, selbstmetrisierend zu sein. Und ich denke wohlgemerkt auch schon an physikalischen Raum. Jede seiner Eigenschaften soll eine Deutung zulassen, soll schon eine physikalische Bedeutung in sich tragen. Leerer Raum muß daher ausgeschlossen bleiben. Der Raum muß schon vor seiner Definition Objekte enthalten: Entitäten, die ihn füllen, die ihre Gesetze selbst erzeugen und auch Gesetze, die den Raum beschreiben und erlauben, ihn zu vermessen. Entitäten sind grundlegender als Raum. Sie definieren ihn! Sie sind die „Koordinaten“ des Raumes. Sie legen sich selbst als Maßstab an, denn sich selbst, das haben wir gesehen, können sie messen. Das haben wir gesehen? Entitäten waren doch noch gar nicht Thema! Aber mit diesem „Versprecher“ habe ich jetzt besiegelt, was längst zwischen den Zeilen zu lesen war: Den dynamischen Dorntorus nenne ich eine physikalische Entität. Und da es - spielregelgemäß - nur eine solche gibt, sind beide Bezeichnungen Synonyme. Jetzt also geht es um den Raum der Entitäten, um physikalischen Raum. Damit kann ich Spielregel 8 als Definition übernehmen: „Physikalischer Raum ist die - durch Wirkung des steuernden Prinzips eingeschränkte - Menge aller möglichen Raumpunkte.“ Das steuernde Prinzip ist inzwischen formuliert, auf Axiome bezogen, und alles, was für den dynamischen Dorntorus gilt, kann ich auch auf Entitäten anwenden. Einziger Unterschied ist, daß ich „(dynamischer) Dorntorus“ im Kontext mit abstrakter Mathematik, „Entität“ bei physikalischer Deutung benutze.

      Definition 3 :
      Physikalischer Raum ist die Menge aller Raumpunkte, die gemäß den Axiomen für den dynamischen Dorntorus ineinander übergeführt werden können, und die ein Element enthält, das einer bestimmten ausgewählten Konstellation von GRÖSSEN aller Entitäten entspricht.

    Entitäten sind also nicht Objekte, die sich an einem Ort mit bestimmten Koordinatenwerten aufhalten. Entitäten sind die Koordinaten. So wie die Koordinaten des linearen Orts-Raumes an jedem Raumpunkt bestimmte, diesen Ort bezeichnende, Zahlenwerte besitzen, so ist im Dorntorusmodell jede Entität an jedem Punkt des Raumes mit einem, diese Entität selbst charakterisierenden, Zahlenwert präsent. Sie ist über den gesamten Raum verteilt. Nichtlokalität ist (per definitionem aut a priori) eine ihrer fundamentalsten Eigenschaften.

       

      Modell und Bild     zurück

    „Das Prinzip“ ist in der Tat so simpel und banal, ununterbietbar schlicht, fast einfältig einfach - auf den ersten Blick das eines naiven Uhrwerkmodells. Aber es liefert erstaunlichste Gesetzmäßigkeiten und eine Fülle komplexer Strukturen. Es selbst ist kein Gesetz, wie auch die Spielregeln und Axiome keine Gesetze sind. Sie sind Gedankenstützen, Krücken und Eselsbrücken, mit denen analoges Verhalten simuliert werden soll, analog den Zahlen und analog tatsächlich Beobachtetem. Und gekoppelte periodische Vorgänge, aus denen „Natur“ doch zum großen Teil - vielleicht ausschließlich - besteht (auch wenn die Physik der irreversiblen Prozesse uns vermeintlich etwas anderes glauben machen will), mit dem Dorn-Torus darzustellen, ist ja nicht ganz abwegig, eigentlich viel naheliegender als z.B. mit dem Ring-Torus, der ja - längst entdeckt - viel verwendet wird (siehe z.B. die versteckte, „zufällige Widmung“ auf dem inneren Titelblatt. Anm.: fehlt hier, es ging um KAM) und der schon, auch als abstraktes vieldimensionales topologisches Gebilde mit Gruppeneigenschaften, hohen Gewinn beim Verständnis dynamischer Systeme geliefert hat. Auch die im Modell des dynamischen Dorntorus verwirklichte Ökonomie der Mittel und Voraussetzungen (einfache Mathematik, natürliche Zahlen und deren Minimal arithmetik) sollte Leitfaden bei der Suche nach einem einfachen Modell sein. Auf solch extremes Maß reduzierte Einfachheit, wie mit den Spielregeln gefordert und in den Axiomen formuliert, vorauszusetzen, muß zwangsläufig die Suche in ein Bild münden lassen, zu dem das des Dorntorus zumindest äquivalent ist. Es ist mit Sicherheit nicht das einzig mögliche, aber es ist genauso sicher repräsentativ für Bilder dieser Art.

    Ich habe von Determiniertheit gesprochen, die ja längst „widerlegt“, verpönt und aus der Physik verbannt ist (und an deren Stelle der mysteriöse „Zeitpfeil“ getreten ist). Die Determiniertheit, die ich meine, spielt sich in der Ebene der Anordnung von Raumpunkten ab. In der Gesamtheit des Raumes, im Verhalten ganzer Ensembles von Entitäten, in ihren Eigenschaften, die sich später als ihre „Wechselwirkung“ entpuppen werden, ist diese Determiniertheit nicht mehr zu erkennen. Bei jeder GRÖSSEN-Änderung, beim Übergang zu einem anderen Raumpunkt, verzweigt sich der Weg durch den Raum entsprechend der Zahl der Entitäten, die an diesem Raumpunkt einzeln „gemessen“ werden. Greife ich einen bestimmten Dorntorus heraus, verfolge den Weg durch den Raum, den die Raumpunkte beschreiben, bei denen dieser Dorntorus gleichbleibende GRÖSSE hat, wähle also alle Punkte aus, bei denen dieser eine Wert konstant ist, dann beschreite ich eine Verzweigung. Dies kann ich für jeden Dorntorus tun und habe jedesmal eine andere Verzweigung gewählt. „Das Prinzip“ erzeugt zwar Raumpunkte in eindeutig festgelegter diskreter Folge, einen nach dem anderen, das Ergebnis als deren Anordnung im Raum ist aber keineswegs perlschnurartig determiniert, sondern schon nach wenigen Schritten undurchschaubar verwoben. Der Raum wird durch die Wirkung des Abrollens, bei „kleinen“ Dorntori in höherem Maße, fortlaufend „durchgeknetet“ und jede Ordnung irreversibel entstellt. Dies ist ein Aspekt des Bildes, der - ist er erst mal eingefangen - jeden Zweifel an seiner Relevanz verfliegen läßt.

    Ein anderer entsteht durch die Einführung der schon mehrfach angesprochenen „Lissajous-Figuren auf der Dorntorus-Oberfläche“, den designierten Marken des Taktgebers für die Dynamik. Das Bild habe ich ausführlich in DornTorus (1) beschrieben, will es hier nochmals kurz wiederholen: Greife ich einen einzelnen Dorntorus heraus und bleibe auf seinem Pfad konstanter GRÖSSE. Seine Abroll„winkel“geschwindigkeit wu ist dann konstant, ro ohnehin. Für das folgende Bild verlasse ich vorübergehend die Geometrie der diskreten Raumpunkte, die ja nur von den Punkten S repräsentiert wird, und betrachte die Oberfläche des Dorntorus, die nicht zum Raum der dynamischen Dorntori gehört. Sie sei eine ganz normale, im Raum der Anschauung gekrümmte Fläche mit unendlich vielen, unendlich dicht liegenden Punkten. (Die sich ergebenden Folgerungen aus dem Bild werden diese Vorstellung nicht benutzen!) Ein markierter Punkt auf der Oberfläche (in DornTorus (1) hatte ich eine festgehaltene Bleistiftspitze benutzt) beschreibt während des Abrollens und Rotierens eine Kurve - die Abrollinie -, die allein vom Verhältnis v = wu:ro abhängt. Am besten, ich zitiere den genannten Text:


    „. . . Bei v = 1 sehe ich eine geschlossene Schlaufe, die nach einer Umdrehung und einer Rotation wieder in sich selbst übergeht, bei v = 2 sind es zwei Schlaufen nach einer Rotation, bei v = 3 drei, v < 1 ergibt eine Spirale, die den Punkt S in Richtung eines bestimmten Längenkreises verläßt, sich dann um den Dorn herumwickelt, bis zum Äquator immer größere Winkel mit den Längenkreisen, die sie schneidet, einschließt und dann in gleicher, umgekehrter Weise auf der anderen Seite des Torus zum Symmetriepunkt zurückkehrt.

    Man stellt schnell fest, daß ganzzahlige Werte (v = n) n Schlaufen pro eine Rotation machen, Kehrwerte von ganzen Zahlen ergeben Spiralen, die, wie beschrieben, nach einer Umdrehung und n Rotationen in sich selbst übergehen, bei rationalen Verhältnissen (v = z/n) sieht man z Schlaufen oder Spiralen nach z Umdrehungen und n Rotationen. Irrationale Zahlen oder - die endliche Strichstärke des Stifts berücksichtigend - auch schon rationale Zahlen mit großen Werten von z und/oder n lassen die ganze Dorntorusoberfläche bedecken.

    Natürlich entstehen diese Linien analog den Lissajous-Figuren bei der Überlagerung harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz in verschiedene Richtungen. Ich will sie deshalb auch so nennen: ‘Lissajous-Figuren auf der Dorntorus-Oberfläche’, die einzelnen Schlaufen pro Umdrehung nenne ich ‘Blätter’, das ganze Gebilde dann ‘n-blättrige Lissajous-Figur’. . .“

      Bild „Blätter, Schlaufen und Spiralen“

    Mit diesen Figuren kann ich nun eine Menge anfangen. Ich kann sie untereinander vergleichen und untersuchen, wie sie zusammenpassen, wie sie sich überlagern, wie dadurch neue Figuren entstehen, die ihrerseits wieder in die Überlagerungen eingehen, und wie sie sich damit gegenseitig beeinflussen oder auch ihr „Eigenleben“ entwickeln. Der Vergleich findet nur im Punkt S statt, für den das Aussehen der Figur „weiter draußen“ auf der Oberfläche unbedeutend ist, da diese außerhalb des Raumes - damit gar nicht definiert - ist. Hier, in S, geht es um die Marken, die jeweils die Rotation um h und die Abrollstrecke c anzeigen. Dabei treten Effekte auf, wie der - um den einfachsten zu nennen -, daß die n-blättrige Figur als Taktgeber nicht von der einblättrigen mit n-facher Rotationsgeschwindigkeit zu unterscheiden ist. Daß und wie dies zustande kommt, hat bereits physikalische Bedeutung und wird später erörtert, wie auch die anderen Effekte und das scheinbar sich einstellende Chaos der Überlagerungen - es sind ja alle Dorntori im Punkt S vertreten! -, das aber dank des einfachen zugrundeliegenden „Prinzips“ in harmonische und beschreibbare Ordnung übergeführt werden kann. Doch zurück zur Oberfläche: Die Lissajous-Figur wird von einer Abrollinie gebildet, deren Länge berechnet werden kann - auf großen Dorntori die eines spiraligen Gebildes, auf inversen die von geschränkten Schlaufen. Für den euklidischen Raum sind weiter vorn vier davon angegeben (unter Überschrift ‘Zahlen und Größen’: v = 0, ½, 1, 2). Für den Dorntorus-Raum muß diese Abrollinienlänge anders definiert werden, innerhalb des Raumes streng die natürlichen Zahlen benutzend, außerhalb - das sei vorweggenommen - können als reines mathematisches Hilfsmittel durchaus auch andere Zahlen, zumindest die irrationalen, eingeführt werden, ein anschauliches Bild darstellend für den Zusammenhang zwischen Berechenbarkeit dieser Zahlen einerseits und physikalischen Größen bzw. Meßwerten andererseits. Doch darüber - über die physikalische Bedeutung - später mehr. Beispiel:  GRÖSSE L in DM und MASS M in DL sind im Dorntorusraum gar nicht definiert. Die beiden Größen können für rein mathematische Behandlung, zur Unterscheidung vom jeweils anderen Dorntorus-Anteil und als Grundlage der Deutung, ihre „Verschränkung“ assoziierend, mit Zahlen versehen werden:

      Definition 4 :
      Für DL sei MASS M = 1/l ,  für DM GRÖSSE L = 1/m .

    Bereits durch Definition 2 ist der Dorntorus in zwei Anteile - nenne sie „Welten“ - zerfallen: die große Welt der GRÖSSEN und die inverse der MASSE. Sie stehen an jedem ihrer Punkte miteinander in Verbindung durch das gemeinsame Abrollen und Rotieren ihrer Tori an den gemeinsamen Punkten S. Die großen Tori der „großen, äußeren oder Makrowelt“ rollen sich nicht nur untereinander ab, sondern ebenso an allen in S vertretenen Tori der „kleinen, inversen oder Mikrowelt“ - und umgekehrt. In den Punkten S zeigen alle Entitäten ihre Existenz an. Die ganze Welt ist in jedem ihrer Punkte versammelt! Sie besteht ausschließlich aus singulären Punkten.

      Bild „die singuläre Quelle allen Zaubers“

    Ein weiterer Aspekt des Bildes ist seine Selbstähnlichkeit oder spezieller: „Skaleninvarianz“. Dieser Begriff ist zwar schon von den Teilchenphysikern in Beschlag genommen als dimensionslos gemachter differentieller Wirkungsquerschnitt bei Streuexperimenten (und als Grundlage für den schwer engrammbeladenen ‘Beweis’ der Strukturlosigkeit oder Punktförmigkeit von Streuobjekten oder -zentren „mißbraucht“!), ich unterwerfe ihn aber für meine Zwecke eigenmächtig diesem Bedeutungswandel. Er trifft das Bild von den Dorntori, deren assoziierte Form und verhaltensteuerndes Prinzip ja unabhängig sind von ihren einzigen „Skalen“ L und M, besser als z.B. die in theoretischen Überlegungen oft gewählten Ausdrücke ‘Skalensymmetrie’ oder ‘Dimensionsinvarianz’. ’Symmetrie’ ist im Bild ohnehin allgegenwärtig, ‘Dimension’ hat bei den Dorntori nichts verloren, weder als Merkmal des Raumes, noch als Komponente eines Maßsystems. Die allenfalls mögliche Alternative „Größeninvarianz“ käme in Konflikt mit der spezielleren „GRÖSSEN-Invarianz“. Hier bedeutet Skaleninvarianz, daß ich in das System ineinander geschachtelter Dorntori bei jeder beliebigen GRÖSSE und jedem beliebigen MASS einsteigen kann, selbst c und h (die Skaleneinheiten!) frei wählend, und doch - bei Beachten „des Prinzips“ - immer auf das exakt gleiche Bild stoße mit exakt den gleichen Lissajous-Figuren und stets auch den Dorntorus (c, h) enthaltend. Diese freie Wählbarkeit von c und h mit der einzigen Einschränkung ungleich Null macht beide Werte, einmal ausgewählt und konstant gehalten, zu universellen, in der gesamten Dorntoruswelt gültigen, Einheiten, nach denen sich alles Verhalten richtet. Die „automatische Skalierung“ von Größen und deren Eindeutigkeit durch Anwendung „des Prinzips“ nenne ich Selbstmetrisierung. Und doch - trotz der daraus folgenden Unterscheidbarkeit aller vorkommenden Größen - ist Selbstähnlichkeit der Dorntori durch die Skaleninvarianz in höchstem Maße verwirklicht, und nichtsdestoweniger beliebig komplexer, prinzipiell aber auch zu ordnender, Strukturreichtum im Modell enthalten. Das ganze Bild - damit das Spiel - endet in einer

    „ Harmonie des komplexen Chaos “

     

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