Auf einen weiteren Zufall führt folgende Überlegung: Die Abrollinie zwischen dem kleinsten der großen und dem größten der inversen Dorntori, jetzt im neuen Bild, besteht aus deren GRÖSSEN und den dazwischenliegenden, also 2+1+½ = 3,5. Auch die Summe der MASSE ergibt analog 3,5. Projiziere ich in den dreidimensionalen Raum, betrachte ich also drei Systeme ineinander geschachtelter Dorntori gleichzeitig, wird die Anzahl der vorkommenden Raumpunkte mit 3 potenziert. Die Anzahl möglicher Vorgänge (z.B. alle Rotationen, Summe der MASSE h) ist, da jeder Punkt mit jedem anderen in Beziehung zu setzen ist, nochmal das Quadrat des Ergebnisses, also (3,5)^6 = 1838,265625. Der Wert liegt (zufällig) zwischen der Masse (jetzt nicht mehr MASSE!) des Protons und der des Neutrons, wenn die des Elektrons 1 ist.

Die Zufälle sind verblüffend, aber wenn man will und sich nach etwas Übung ein wenig Mühe gibt, kann Jonglieren mit Zahlen fast jedes Ergebnis liefern. Eines haben sie bewirkt: mich bei der Stange zu halten, diese Fortsetzung zu schreiben, um damit eigene Gedanken zu ordnen und die fixen von vielleicht doch kreativen Ideen zu trennen. Keinesfalls will und kann ich eine Abhandlung über Physik schreiben. Mit ihr selbst ist behutsamer umzugehen. Sie scheint sehr scheu und unnahbar, hat viele Fallstricke für ortsunkundige Eindringlinge ausgelegt, und ich muß auf der Hut sein, nicht gleich am Eingang zu stolpern und mit dem ganzen Portal in ihre Hallen zu fallen.

 

Zwischen zwei Welten     zurück

Mit der „Herleitung“ und Angabe von Zahlenwerten, die im Modell zweifellos stecken, möchte ich mich vorerst zurückhalten, vielmehr weiterhin das Bild detaillierter ausarbeiten, so daß mögliche Interpretationen nicht trickreich konstruiert und aus dem Zylinder gezaubert werden müssen, sondern sich aufdrängen und fast von selbst ergeben. Das hervorstechendste Merkmal des dynamischen Dorntorus, so wie mit den „Axiomen“ definiert, ist seine Symmetrie. Gemeint ist also nicht die euklidisch-geometrische, die zwar auch höchst bemerkenswert, aber nur als Assoziationshilfe relevant ist, sondern die Symmetrie der Größen. GRÖSSE L kann alle Werte l Î N annehmen und wird mit den Zahlen m Î Z Ì N abgezählt - MASS M kann alle Werte m Î N annehmen und wird mit den Zahlen l Î Z Ì N abgezählt. Auch Grenzwertbetrachtung für l und m ® ¥ macht die Symmetrie deutlich: Zum Weiterzählen der GRÖSSE braucht man immer größere Zahlen m, das Anwachsen wird immer „langsamer“, je größer der Torus wird, oder - andere Sichtweise: die hohe Zählrate der sehr großen Dorntori schrumpft beim Übergang zu kleineren (Stichwort für später: Rotverschiebung). Für das MASS gilt entsprechendes: Steigt es „über alle Maßen“, nähert sich die „Zahlenstrecke“ l zum Abmessen eines einzigen - des nächstgrößeren - MASSES unendlicher Länge (Stichwort: Beschleunigergröße zum Erreichen schwererer Massen). Diese Symmetrie, welche die Zahlen (l, m) in DL ununterscheidbar macht von den - vertauschten - (m, l) in DM, ist um so erstaunlicher, als die Dynamik mit einem euklidischen Dorntorus entwickelt wurde, bei dem Abrollen und Rotieren grundverschiedene Vorgänge sind. Abrollen wird mit Strecke (GRÖSSE) gemessen, Rotieren mit Winkel (MASS). Abrollen hat weder Achse noch festen Drehpunkt, Rotieren hat beides. „Gespiegelt“ wird der dynamische Dorntorus am Einheitsdorntorus. Das Spiegelbild der einblättrigen spiraligen Figur L = 2 (alle spiraligen Figuren sind ein-blättrig) ist die zweiblättrige (aus zwei Schlaufen) bei M = 2. Euklidisch unvergleichbar, sind sie im dynamischen Bild genau das gleiche - nur eben gespiegelt. Für sehr große L streckt sich die Figur in der Nähe von S zur „fast geraden Linie“, für große M hingegen wickelt sich dieselbe Linie zu einem winzigen Knäuelchen um S. Trotzdem - die Zahlen sind symmetrisch.

Bild „die Eine Welt zerfällt in Zwei“

Dominiert wird die große Welt von um die Dorne gewickelten spiraligen Abrollinien, hat damit, wie gesagt, wenig Strukturmerkmale. Nebeneinander liegende Linien, die sich also in ihren Zahlenverhältnissen (wu:ro) nur wenig unterscheiden, haben bereits eine große Zahl Abrollstrecken c und Rotationen hinter sich (anders als bei den Schlaufen der kleinen Welt, bei denen benachbarte Linien sich nur um eine Abrollstrecke und um eine Rotation unterscheiden!). Annäherungen an „Resonanzen“ (= rationale Verhältnisse wu:ro), bei denen Lissajous-Figuren auftreten, ergeben, wenn überhaupt, hier in der großen Welt nur schwach ausgeprägte, kaum erkennbare Dichtezunahmen der Linien. Sie können ungestört durch solche Komplikationen den Dorn völlig bedecken, sich „frei ausbreiten“. Die Linien sind Photonen. Anders wird es, wenn sich die Abrollinie dem wu:ro-Verhältnis ½ nähert, dem Dorntorus der GRÖSSE 2 - ein Photon dem Elektron? Konstante Variation des Verhältnisses (= konstante GRÖSSEN-Änderung) auf beiden Seiten dieses Wertes ergibt eine extrem scharf ausgeprägte Resonanz, ein immer dichter werdendes Band auf der Dorntorus-Oberfläche mit einem scharfem Rand. Ebenso bei 2, dem Spiegelbild von ½. Das Photon zwischen diesen Werten ist eingesperrt - eingesperrt zwischen zwei Welten. Ganz im Gegensatz zu seinen freien Artgenossen in der großen Welt. Dorthin versperrt ihm das Elektron den Weg, zur kleineren Welt die Nukleonen. Überspringen wir diese, beide, rollen weiter ab über zunehmende Werte des MASSES, treffen wir hin und wieder auf mehr oder weniger scharf ausgeprägte Resonanzen. Dazwischen sind jeweils Stücke der Abrollinie abgeschnitten - eingesperrt zwischen der größeren und der noch kleineren Welt. Diese Stücke sind Bosonen. Zwischen ganzzahligen Lissajous-Blättern liegend, haben sie feste Länge und festes MASS, was sie, wie wir sehen werden, zu vibrierend schwingender Eigenrotation - zu individuellem Eigenleben - befähigt.

 

Tausend tiefe Rätsel     zurück

- „eine Opfergabe dem Altar der Zahlen“ (Bild)

Die Analogien - in diesem Stadium natürlich völlig aus der Luft gegriffen - lassen sich beliebig weiterspinnen, doch das zugrundeliegende Verhalten der Abrollinie läßt sich nicht so leicht nachvollziehbar in Worte fassen. Tausendfach einfacher ist es, sich eine Computersimulation anzusehen, mit der der Weg eines animierten Punktes auf der Oberfläche des dynamisch - nach Vorschrift der „Axiome“ - sich verändernden Dorntorus verfolgt wird. Man sieht, wie die (nicht ganz geschlossene!) Abrollinie zwischen den Resonanzen als Gesamtfigur zu rotieren beginnt, bei jeder Resonanz, auch bei schwachen, den Drehsinn ändernd, gleichsam von ihr reflektiert. Das Verhalten erinnert an die „virtuelle“ Rotation eines Speichenrades bei stroboskopischer Beleuchtung. Auf diesbezügliche Details will ich vorerst nicht eingehen.

Ich will mich Rätseln zuwenden - dem Rätsel Zeit zuerst: Die Meterstäbe der großen Welt sind die Abrollstrecken c. Das Meßgerät für die abrollenden Strecken ist ein Taktgeber, eine Uhr, ein periodisch rotierender (oder schwingender) Vorgang. c ist gleichermaßen Meßeinheit der abgerollten GRÖSSE wie der abgerollten „Zeit“ der Uhren. Veränderung der GRÖSSE heißt Veränderung der Zeit. Sie „läuft“ - wie c - immer in die gleiche Richtung - die Richtung, in die der Torus abrollt. „Zeitumkehr“ hat nichts - aber auch gar nichts! - mit „Geschwindigkeits“-Umkehr zu tun. Diese ist nichts anderes als „Richtungs“-Umkehr! Die Unvereinbarkeit der (klassischen) Dynamik mit der Physik irreversibler Prozesse (Thermodynamik) gründet sich allein auf dieses banale Mißverständnis. Irreversibilität ist zwangsläufige Folge „des Prinzips“, genau wie dann auch Kausalität aufeinanderfolgender Konstellationen, ohne auch nur im geringsten die Gültigkeit (klassisch-)dynamischer Gesetze zu beeinträchtigen. Zeitumkehr läßt den Dorntorus in Gegenrichtung abrollen, er gehört dann nicht mehr zur ursprünglichen Welt, ist Teil einer anderen, einer „Antiwelt“. Abroll-Richtung ist die Zeit. Ihre Länge ist die gleiche wie die Länge der GRÖSSEN. Ihr Platz im Bild der großen Welt ist redundant auf dem Meridian eines unendlich großen Dorntorus, der bis in fernste Umgebung von S zur „geraden Linie“ entartet. Im Unendlichen öffnet sie ihren trichterförmigen Dorn und kehrt von der anderen Seite kommend wieder zu S zurück, nachdem sie unendlich viele Abrollstrecken c zurückgelegt und unendlich oft rotiert hat. Nur - die Rotation einer Linie bleibt unbemerkt. Die „absolute“ Zeit nimmt als asymptotische Größe nicht Teil am Geschehen der Welt. Die „individuelle“ Zeit des kleineren Dorntorus ist genauso redundant auf seiner Oberfläche gelegen, wo die (identische!) Abrollinie ohnehin vorhanden ist. Hält „seine“ Zeit an, so stoppt er sein Abrollen - nicht seine Rotation -, und er ist verschwunden. Hält die Zeit global an, ist die ganze Welt unwiederbringlich verschwunden. (Und vielleicht: Entferne ich auch nur ein Schnipselchen einer Abrollinie, stürzt die ganze Welt in diese neue Lücke ...) - Zeit ist also identifiziert. Sie ist der im Takt der Uhren abgerollten Strecke gleich. Alles, was die Zeit mir zu bieten hat, ist ohne sie im Bild bereits vorhanden. Ich brauche sie nicht mehr. Sie hat jeden Funken Rätselhaftigkeit verloren. Zeit - als Rätsel - ist abgehakt!

Weitere Rätsel: - Quantisierung aller Größen in einer Welt, die nur aus natürlichen Zahlen besteht, ist kein Thema, ist kein Rätsel. Sie ist selbstverständlich, ist natürlich. Hierzu eine Bemerkung am Rande: Die beim Abzählen von GRÖSSE und MASS aufgetauchte Zahlenmenge Z = {½n(n+1)} Ì N, n Î N, kommt in der Quantenmechanik verschiedentlich vor, z.B. als Menge der Zahlen, die zum Abzählen der unterscheidbaren Zweiteilchen-Quantenzustände (von Fermionen oder Bosonen, wobei eines jeweils Bezugsobjekt des einzigen anderen ist) bei n erlaubten Orten (oder Impulsen) benötigt wird, oder auch zum Abzählen möglicher Spinzustände ... - Nichtlokalität in einem Raum, in dem alle physikalischen Entitäten in jedem seiner Raumpunkte vertreten sind, ist eine seiner fundamentalsten Eigenschaften. Die Idee, darin ein Rätsel zu sehen, kommt gar nicht erst. Dasselbe gilt auch für alle damit zusammenhängenden Begriffe wie Korrelation, Quantenverschränkung, Fernwirkung, EPR-Paradoxa ... - Apropos Entitäten : Was stellen sie dar im Bild? Wie werden sie physikalisch gedeutet? Die Zwei-Welten-Betrachtung legt die Antwort nahe. Eine Entität (ein dynamischer Dorntorus) ist die Palette aller Teilchenarten, die in ihr (ihm) jeweils einmal vorkommen. Photon und Elektron bilden den großen Dorntorus, Nukleonen und Teilchen größerer Masse sowie deren Austauschbosonen den inversen; dazwischen liegt ein „eingesperrtes“ (virtuelles) Photon, das zwischen Elektron und Nukleon hin und her reflektiert wird (das „Speichenrad“ - s.o. - dreht in der Simulation „virtuell“ vibrierend vor und zurück). In einem Raumpunkt, einem Punkt S, ist - definitionsgemäß - immer nur eine GRÖSSE der Entität vertreten, also niemals verschiedene ihrer Anteile - der Teilchen - zusammen, wohl aber unterschiedliche Anteile verschiedener Entitäten. Die Anzahl der pro Raumpunkt „wirkenden“ Teilchen (Fermionen oder Bosonen) ist also grundsätzlich gleich der Zahl aller Entitäten. Wie sich Teile aus diesem Verbund „Entität“ lösen können und als „freie Teilchen“ auftreten, steht auf einem anderen Blatt. Doch das Zusammenwirken (unendlich?) vieler Dorntori in einem einzigen Punkt macht vieles möglich (alles, was man braucht!). Vorerst aber will ich das Bild noch nicht allzusehr strapazieren ... Nur zum Begriff Wechselwirkung dieser Teilchen untereinander - da schon mal die Rede davon ist - noch ein ganz kurzes Wort: Lissajous-Figuren, seien sie nun geschlossen oder nicht, sind wiederum des Rätsels Schlüssel. Wechselwirkung ist das resultierende Muster aller ihrer Überlagerungen im Punkt S.

 

Rätsels Lösung ?     zurück

Wenn ich jetzt behaupte, mit diesem einfachen Prinzip den Schlüssel zur Lösung aller Rätsel in der Hand zu halten, dann steh’ ich erst mal dumm und einfältig da. Ich bin ja noch gar nicht losgelöst vom alten Raum, habe noch nicht genug vergessen und verdrängt, bin noch nicht tief genug eingedrungen in die neue Welt, und der Weg dorthin ist weit und vielfach verwunden! Ich spiele noch immer mit Entitäten und ihren Eigenschaften, während die Natur mit mir auf ganz anderem Niveau zu spielen scheint. Doch - so viel habe ich bereits erspäht - auch dort, auf „höherem“ Niveau, hat das Bild noch einiges mehr zu bieten. Ist es erst mal eingefangen - es gelingt schon ansatzweise und für kurz -, und wird der verschachtelte Dorntorusraum ebenso klar gesehen, wie es für den Raum der Anschauung selbstverständlich ist, werden schließlich in seinen Eigenschaften schon bekannte Größen und Begriffe wiederentdeckt, dann wird meine, angesichts der vielen komplizierten Prinzipien, der vielen Naturkonstanten und ungelösten (unlösbaren?) Rätsel, im alten Raum bislang dominierende Einfalt überwunden werden durch das Realisieren der mächtigen Vielfalt aus einem einzigen einfachen Prinzip (zudem konstanter Natur), Naturkonstanten als strukturelle - nicht wie bisher kontingente - Eigenschaften enthaltend.

Hinreichende Anregungen liegen als Bruchstücke bereit zum Zusammensetzen. Wenn dann das Erkennen der Symmetrien im entstehenden Puzzle sich nicht mehr nur auf bloßes Nachvollziehen mathematischer Eigenschaften beschränkt, sondern sich in einem deutlichen, eindeutigen und einheitlichen Gesamtbild manifestiert, das die Stelle des bisherigen Raumes der Anschauung als Grundlage aller Begriffsbildungen einnehmen kann, dann fallen auch die weiteren Analogien leicht, nein, mehr als das, dann kann es passieren, daß das neue Modell ganz plötzlich in die Rolle der Realität zu schlüpfen scheint, und man amüsiert einige - nur eben nicht alle - seiner vielen Eigenschaften im Euklidischen Modell mit seinen nichteuklidischen Varianten auch verwirklicht vorfindet. Relativität zum Beispiel. Doch dies bedarf naturgemäß ein paar der Worte mehr, als ich auf diesen letzten Seiten unterbringen kann. Und auch die Dienste der Mathematik - dann in anderem Rahmen - werde ich beanspruchen müssen, werde komplexe Zahlen (L, M) einführen (GRÖSSE imaginär, MASS reell), deren Beträge mit der Abrollinie identifizieren, die sich auf großen Tori um die Dorne wickelt, werde für h auch Werte >> 1 zulassen, indem ich Addition des MASSES M definiere (oder vielmehr entdecke), so daß die Spiralen auf dem Dorn immer enger zu liegen kommen, bis die abgerollte GRÖSSE L schließlich gegen Null strebt. Damit werde ich auf c als Grenzwert stoßen und mit den Beträgen (M² - L²)^½ auch auf wohlbekannte Formeln.

Über diesen Umweg werden sich weitere Größen herauskristallisieren: Ort, Richtung, Bewegung und Geschwindigkeit - Masse, Kraft, Impuls und Energie. Damit kann ich Kinematik betreiben. Natürlich führt die sich selbst skalierende Meßeinheit c zur Lichtgeschwindigkeit c - Photonen als Referenzobjekte sind ja identifiziert -, wenn ich die GRÖSSE c auf das MASS h beziehe. GRÖSSE und MASS sind reziproke Größen, die „Verschränkung“ der großen mit der inversen Welt zum Ausdruck bringend, und fundamentaler als die beiden Größen selbst ist ihr Produkt h·c. MASS h = 1 wird dann zwanglos die Rolle des Wirkungsquantums h annehmen ...

Um eines der Versprechen aus DornTorus (1) einzulösen, hier noch ein hochspezialisiertes der kleineren, aber nicht minder tiefen, Rätsel, derer es tausend weitere gibt. Es ist in diesem Stadium nicht tierisch ernst gemeint, eher ein Musterbeispiel für Jonglieren mit Zahlen, aber durchaus als Hinweis zu verstehen, daß mit dem Bild auch recht komplex erscheinende Fragen angegangen werden können: Bei der Bildung der Dupletts des schwachen Isospins - für Quarks  (u, d ), (c, s ), ... - tritt empirisch in grob 5% der Fälle s an die Stelle von d und umgekehrt, d und s sind also jeweils Überlagerungen von d und s. Warum? Die drei „Blätter“ der Quarks u und d sind um 44°40’, 164°40’ und 284°40’ gegenüber dem „Nullmeridian“ des Elektrons verdreht, die vier der c und s um 28°36’, 118°36’, 208°36’ und 298°36’. In (298,6-284,7)/360 der Fälle ist - von der dreiblättrigen Figur kommend - die nächst durchlaufene die vierblättrige, und umgekehrt - von der vierblättrigen kommend - ist entsprechend in (44,7-28,6)/360 der Fälle die dreiblättrige die nächste, das sind 3,9 bzw. 4,5%. Ob das wohl Bedeutung hat?

Die Mathematik zur Beschreibung der Erscheinungen einer komplexen Welt, das Spiel mit Zahlen, wird auch im einfachsten Modell ein Mindestmaß an Komplexität, sprich Kompliziertheit, behalten. Nur das Bild, die Krücke, bleibt durchgehend einfach. Das Bild bleibt stets dasselbe.

Ich nenne dies Konsistenz.

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Bild „kommt mit in den Dorn und auf den Trichter!“